最大容量问题

问题

输入一个数组 $ht$ ，其中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。

容器的容量等于高度和宽度的乘积（面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。

请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。示例如下图所示。

容器由任意两个隔板围成，因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$ 。

根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的数组索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，则可得计算公式：

$$ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i) $$

设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，我们可以穷举所有状态，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

贪心策略确定

这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、$j$ 为长板。

如下图所示，若此时将长板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，则容量一定变小。

这是因为在移动长板 $j$ 后，宽度 $j-i$ 肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（ $i$ 仍为短板）或变小（移动后的 $j$ 成为短板）。

反向思考，我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小，但高度可能会变大（移动后的短板 $i$ 可能会变长）。例如在下图中，移动短板后面积变大。

由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针，使其分列容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。

下图展示了贪心策略的执行过程。

1. 初始状态下，指针 $i$ 和 $j$ 分列数组两端。
2. 计算当前状态的容量 $cap[i, j]$ ，并更新最大容量。
3. 比较板 $i$ 和板 $j$ 的高度，并将短板向内移动一格。
4. 循环执行第 2. 步和第 3. 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。

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代码实现

代码循环最多 $n$ 轮，因此时间复杂度为 $O(n)$ 。

变量 $i$、$j$、$res$ 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$ 。

[file]{max_capacity}-[class]{}-[func]{max_capacity}

正确性证明

之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

比如在状态 $cap[i, j]$ 下，$i$ 为短板、$j$ 为长板。若贪心地将短板 $i$ 向内移动一格，会导致下图所示的状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小。

$$ cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1] $$

观察发现，这些被跳过的状态实际上就是将长板 $j$ 向内移动的所有状态。前面我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，跳过它们不会导致错过最优解。

以上分析说明，移动短板的操作是“安全”的，贪心策略是有效的。