小结

重点回顾

• 输入 key ，哈希表能够在 $O(1)$ 时间内查询到 value ，效率非常高。
• 常见的哈希表操作包括查询、添加键值对、删除键值对和遍历哈希表等。
• 哈希函数将 key 映射为数组索引，从而访问对应桶并获取 value 。
• 两个不同的 key 可能在经过哈希函数后得到相同的数组索引，导致查询结果出错，这种现象被称为哈希冲突。
• 哈希表容量越大，哈希冲突的概率就越低。因此可以通过扩容哈希表来缓解哈希冲突。与数组扩容类似，哈希表扩容操作的开销很大。
• 负载因子定义为哈希表中元素数量除以桶数量，反映了哈希冲突的严重程度，常用作触发哈希表扩容的条件。
• 链式地址通过将单个元素转化为链表，将所有冲突元素存储在同一个链表中。然而，链表过长会降低查询效率，可以通过进一步将链表转换为红黑树来提高效率。
• 开放寻址通过多次探测来处理哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素，且容易产生聚集。多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相较线性探测更不易产生聚集，但多个哈希函数增加了计算量。
• 不同编程语言采取了不同的哈希表实现。例如，Java 的 HashMap 使用链式地址，而 Python 的 dict 采用开放寻址。
• 在哈希表中，我们希望哈希算法具有确定性、高效率和均匀分布的特点。在密码学中，哈希算法还应该具备抗碰撞性和雪崩效应。
• 哈希算法通常采用大质数作为模数，以最大化地保证哈希值均匀分布，减少哈希冲突。
• 常见的哈希算法包括 MD5、SHA-1、SHA-2 和 SHA-3 等。MD5 常用于校验文件完整性，SHA-2 常用于安全应用与协议。
• 编程语言通常会为数据类型提供内置哈希算法，用于计算哈希表中的桶索引。通常情况下，只有不可变对象是可哈希的。

Q & A

Q：哈希表的时间复杂度在什么情况下是 $O(n)$ ？

当哈希冲突比较严重时，哈希表的时间复杂度会退化至 $O(n)$ 。当哈希函数设计得比较好、容量设置比较合理、冲突比较平均时，时间复杂度是 $O(1)$ 。我们使用编程语言内置的哈希表时，通常认为时间复杂度是 $O(1)$ 。

Q：为什么不使用哈希函数 $f(x) = x$ 呢？这样就不会有冲突了。

在 $f(x) = x$ 哈希函数下，每个元素对应唯一的桶索引，这与数组等价。然而，输入空间通常远大于输出空间（数组长度），因此哈希函数的最后一步往往是对数组长度取模。换句话说，哈希表的目标是将一个较大的状态空间映射到一个较小的空间，并提供 $O(1)$ 的查询效率。

Q：哈希表底层实现是数组、链表、二叉树，但为什么效率可以比它们更高呢？

首先，哈希表的时间效率变高，但空间效率变低了。哈希表有相当一部分内存未使用。

其次，只是在特定使用场景下时间效率变高了。如果一个功能能够在相同的时间复杂度下使用数组或链表实现，那么通常比哈希表更快。这是因为哈希函数计算需要开销，时间复杂度的常数项更大。

最后，哈希表的时间复杂度可能发生劣化。例如在链式地址中，我们采取在链表或红黑树中执行查找操作，仍然有退化至 $O(n)$ 时间的风险。

Q：多次哈希有不能直接删除元素的缺陷吗？标记为已删除的空间还能再次使用吗？

多次哈希是开放寻址的一种，开放寻址法都有不能直接删除元素的缺陷，需要通过标记删除。标记为已删除的空间可以再次使用。当将新元素插入哈希表，并且通过哈希函数找到标记为已删除的位置时，该位置可以被新元素使用。这样做既能保持哈希表的探测序列不变，又能保证哈希表的空间使用率。

Q：为什么在线性探测中，查找元素的时候会出现哈希冲突呢？

查找的时候通过哈希函数找到对应的桶和键值对，发现 key 不匹配，这就代表有哈希冲突。因此，线性探测法会根据预先设定的步长依次向下查找，直至找到正确的键值对或无法找到跳出为止。

Q：为什么哈希表扩容能够缓解哈希冲突？

哈希函数的最后一步往往是对数组长度 $n$ 取模（取余），让输出值落在数组索引范围内；在扩容后，数组长度 $n$ 发生变化，而 key 对应的索引也可能发生变化。原先落在同一个桶的多个 key ，在扩容后可能会被分配到多个桶中，从而实现哈希冲突的缓解。

Q：如果为了高效的存取，那么直接使用数组不就好了吗？

当数据的 key 是连续的小范围整数时，直接用数组即可，简单高效。但当 key 是其他类型（例如字符串）时，就需要借助哈希函数将 key 映射为数组索引，再通过桶数组存储元素，这样的结构就是哈希表。