计数排序

计数排序（counting sort）通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。

简单实现

先来看一个简单的例子。给定一个长度为 $n$ 的数组 nums ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程如下图所示。

1. 遍历数组，找出其中的最大数字，记为 $m$ ，然后创建一个长度为 $m + 1$ 的辅助数组 counter 。
2. 借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中 counter[num] 对应数字 num 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 nums（设当前数字为 num），每轮将 counter[num] 增加 $1$ 即可。
3. 由于 counter 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经排序好了。接下来，我们遍历 counter ，根据各数字出现次数从小到大的顺序填入 nums 即可。

代码如下所示：

[file]{counting_sort}-[class]{}-[func]{counting_sort_naive}

!!! note "计数排序与桶排序的联系"

从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 `counter` 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。

完整实现

细心的读者可能发现了，如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。假设输入数据是商品对象，我们想按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。

那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的“前缀和”。顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和：

$$ \text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]} $$

前缀和具有明确的意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行以下两步。

1. 将 num 填入数组 res 的索引 prefix[num] - 1 处。
2. 令前缀和 prefix[num] 减小 $1$ ，从而得到下次放置 num 的索引。

遍历完成后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可。下图展示了完整的计数排序流程。

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计数排序的实现代码如下所示：

[file]{counting_sort}-[class]{}-[func]{counting_sort}

算法特性

• 时间复杂度为 $O(n + m)$、非自适应排序 ：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ，时间复杂度趋于 $O(n)$ 。
• 空间复杂度为 $O(n + m)$、非原地排序：借助了长度分别为 $n$ 和 $m$ 的数组 res 和 counter 。
• 稳定排序：由于向 res 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 nums 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历 nums 也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。

局限性

看到这里，你也许会觉得计数排序非常巧妙，仅通过统计数量就可以实现高效的排序。然而，使用计数排序的前置条件相对较为严格。

计数排序只适用于非负整数。若想将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去。

计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况。比如，在上述示例中 $m$ 不能太大，否则会占用过多空间。而当 $n \ll m$ 时，计数排序使用 $O(m)$ 时间，可能比 $O(n \log n)$ 的排序算法还要慢。